Barisan aritmatika

Minggu, 03 Januari 2010

1.  BARISAN ARITMATIKA

      U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
      U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta

      Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1

      Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
                                            U1, U2,   U3 ............., Un

      Rumus Suku ke-n :

      Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n


   2. DERET ARITMATIKA

      a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.

      a = suku awal
      b = beda
      n = banyak suku
      Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n

      Jumlah n suku

      Sn = 1/2 n(a+Un)
            = 1/2 n[2a+(n-1)b]
            = 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)

      Keterangan:

         1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")

         2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
            Barisan aritmatika akan turun jika b < 0

         3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"

         4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

            Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1)          dst.

         5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n

         6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b

# BARISAN GEOMETRI

U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika

U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta

Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)

Rasio r = Un / Un-1

Suku ke-n barisan geometri

a, ar, ar² , .......arn-1
U1, U2, U3,......,Un

Suku ke n Un = arn-1 ® fungsi eksponen (dalam n)


# DERET GEOMETRI

a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

Jumlah n suku

Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1
      = a(1-rn)/1-r , jika r<1    ® Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:

   1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
   2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
      Un > Un-1
   3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
      Un < Un-1

      Bergantian naik turun, jika r < 0

   4. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
   5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
                _______      __________
      Ut = Ö U1xUn    = Ö U2 X Un-1      dst.  

   6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar





 DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

U1 + U2 + U3 + ..............................

¥
å Un = a + ar + ar² .........................
n=1

dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rn ® 0

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :

Jumlah tak berhingga    S¥ = a/(1-r)

Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:

a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + .................

Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

a+ar2 +ar4+ .......                     Sganjil = a / (1-r²)

Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar3 + ar5 + ......                  Sgenap = ar / 1 -r²

Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r