Kamis, 17 Desember 2009

Koordinat Cartesius Dan Kooordinat Kutub




Sistem Koordinat Cartesius Koordinat ini terdiri dari 2 garis saling tegak lurus, yaitu satu mendatar (horizontal) dan yang lain tegak (vertikal). Garis mendatar ini disebut sumbu-x sedangkan garis yang tegak disebut sumbu-y. Perpotongan kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal (origin) dan diberi tanda O. Seperti biasanya, titik-titik di sebelah kanan O nilainya adalah positif (bilangan-bilangan real positif) sedangkan titik-titik di sebelah kiri O dengan bilangan-bilangan real negatif. Demikian pula dengan titik-titik di sebelah atas O dan di sebelah bawah O masing-masing dikaitkan dengan bilangan-bilangan real positif dan negatif. Oleh ke dua sumbu, bidang datar (bidang koordinat) terbagi menjadi 4 daerah (kwadran), yaitu kwadran I, kwadran II, kwadran

iii dan kwardan iv

Gambar Koordinat Katesius dan kwadrannya Letak sembarang titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan variable berurutan (x,y). Titik P(x,y) berarti bahwa jarak titik P ke sumbu-x dan sumbu-y masing-masing adalah
y
dan
x
. Apabila x < 0 (atau y < 0) maka titik P berada di sebelah kiri (atau sebelah bawah) titik asal O dan apabila x > 0 (atau y > 0) maka titik P terletak di sebelah kanan (atau sebelah atas) titik asal O. Dalam hal ini, x disebut absis titik P sedangkan y disebut ordinat titik P.

Koordinat Cartesius titik P(xp , yp)

Koordinat Kutub titik P (r, o)



r = jarak titik O ke P

a = sudut yang dibentuk antara garis hubung OP dengan sumbu x(+)



Terdapat hubungan

Kutub ® Cartesius

(r,o) - xp = r cos q

yp = r sin o



Cartesius ® Kutub



(xp,yp)  = xp2 + yp2

tg  = yp/xp   = ?

PENJUMLAHAN DUA SUDUT ( + )



sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b

tg(a+b)=tg a+tg b:1 + tg2a



SELISIH DUA SUDUT (a - b)



sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b

cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b

tg(a-b) = tg a - tg b :1 + tg2a





SUDUT RANGKAP



sin 2 a = 2 sin a cos a

cos 2 a = cos2 a - sin2 a

= 2 cos2 a - 1

= 1 - 2 sin2 a

tg 2 a = 2 tg 2a

1 - tg2 a

sin a cos a = ½ sin 2 a

cos2 a = ½(1 + cos 2 a)

sin2 a = ½ (1 - cos 2 a)



Secara umum :



sin n a = 2 sin ½ a cos ½n a

cos n a = cos2 ½n a - 1

= 2 cos2 ½n a - 1

= 1 - 2 sin2 ½n a

tg n a = 2 tg ½n a

1 - tg2 ½n a



JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA





BENTUK PENJUMLAHAN - PERKALIAN



sin a + sin b = 2 sin a +b :2 cos a -b:2


sin a - sin b = 2 cos a +b :2 sin a -b :2


cos a + cos b = 2 cos a +b :2 cos a -b:2


cos a + cos b = - 2 sin a +b : 2 sin a -b :2




BENTUK PERKALIAN - PENJUMLAHAN



2 sin a cos b = sin a +b) + sin a -b)

2 cos a sin b = sin a +b) - sin a -b)

2 cos a cos b = cos a +b) + cos a -b)

- 2 sin a cos b = cos a +b) - sin a -b)



PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA



Bentuk a cos x + b sin x



Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)



a cos x + b sin x = K cos (x-a)

dengan :

K = akar a2 + b2 dan tg a = b/a -a = ... ?



Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut

I II III IV

a + - - +

b + + - -

keterangan :

a = koefisien cos x

b = koefisien sin x